Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn với AB < AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên cung BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\). a) Chứng minh \(\widehat {ADB} = \widehat {CDM}\). b) Gọi E là giao điểm của tia OM và cung BC. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE theo R, biết \(BC = R\sqrt 2 \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {BAD} + \widehat {DAM} = \widehat {BAM},\widehat {DAM} + \widehat {CAM} = \widehat {DAC}\), mà \(\widehat {BAD} = \widehat {CAM}\)suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {DAC}\).

Ta lại có \(\widehat {ABM} = \widehat {ADC}\) (2 góc nội tiếp chắn cung AC của (O)) Xét tam giác ABM và tam giác ADC có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ADC}\), \(\widehat {BAM} = \widehat {DAC}\) Suy ra \(\Delta ABM\backsim \Delta ADC\)(g.g), do đó \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CD}}\). Xét tam giác ABD và tam giác CMD có: \(\widehat {BAD} = \widehat {MCD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O)) \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CD}}\) Suy ra \(\Delta ABD\backsim \Delta CMD\)(c.g.c), do đó \(\widehat {ADB} = \widehat {CDM}\). b) Xét tam giác OBM và tam giác OCM có: OM chung \(OB = OC\)(bằng bán kính (O)) \(MB = MC\)(M là trung điểm của BC) Suy ra \(\Delta OBM = \Delta OCM\)(c.c.c), do đó \(CM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {OMB} = \widehat {OMC}\) Mà \(\widehat {OMB} + \widehat {OMC} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {OMB} = \widehat {OMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OCM có: \(OM = \sqrt {O{C^2} - C{M^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\) Ta thấy \(OM = CM\left( { = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)\) nên tam giác OCM vuông cân tại M, suy ra \(\widehat {COE} = 45^\circ \). Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OE, OC và cung nhỏ CE là: \(S = \frac{{\pi {R^2}.45}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{8}\) (đvdt).