Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không trùng với  \(B\), \(C\), \(D\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì \(PQ\) song song với \(BD\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\). Suy ra \(MN\parallel BD\).Xét hai mặt phẳng \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), ta có \(MN\parallel BD\), \(MN \subset \left( {MNPQ} \right)\), \(BD \subset \left( {BCD} \right)\) nên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) nếu tồn tại sẽ song song hoặc trùng với \(BD\).Mặt khác, ta thấy \(P\) và \(Q\) là hai điểm chung của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng \(PQ\). Hơn nữa, do \(P\) khác \(C\) và \(P\) khác \(D\) nên ta suy ra \(PQ\parallel BD\).Bài toán được chứng minh.