Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. a) Tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BC\); b) Tính góc \(\beta \) giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\). \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) nên \(SO \bot AB\), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ. Ta có: \(S\left( {0;0;6} \right),A\left( {2;0;0} \right),B\left( { - 2;0;0} \right),C\left( { - 2;4;0} \right),D\left( {2;4;0} \right)\). a) Ta có \(\overrightarrow {SD}  = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0;4;0} \right)\), suy ra \(\cos \left( {S{\rm{D}},BC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {S{\rm{D}}} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 4.4 + \left( { - 6} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}\) Vậy \(\left( {S{\rm{D}},BC} \right) \approx {57,7^ \circ }\). b) Ta có: \(\overrightarrow {SD}  = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {SA}  = \left( {2;0; - 6} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {SA} } \right] = \left( { - 24;0; - 8} \right) =  - 8\left( {3;0;1} \right)\). Do đó \(\left( {SAD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;0;1} \right)\). \(\overrightarrow {SD}  = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {4;0;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0; - 24; - 16} \right) =  - 8\left( {0;3;2} \right)\). Do đó \(\left( {SCD} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {0;3;2} \right)\). \(\cos \left( {\left( {SAD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.0 + 0.3 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt {130} }}{{130}}\) Vậy \(\left( {\left( {SAD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) \approx {79,9^ \circ }\).