Đề bài

Nêu một ví dụ chỉ ra rằng \(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  \ne \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \) với \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

Lấy \(f\left( x \right) = 1,g\left( x \right) = x\). Ta có: \(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  = \int {1.xdx}  = \int {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2} + C\\\int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx}  = \int {1dx} .\int {xdx}  = \left( {x + {C_1}} \right)\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}} \right) = \frac{1}{2}{x^3} + \frac{{{C_1}}}{2}{x^2} + {C_2}x + {C_1}{C_2}\end{array}\) Vậy \(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx}  \ne \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).