Đề bài

a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\left( {x \ne 0,x \ne 1} \right)\) b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của x để P cũng nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết

a) \(P = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} - x}} - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\)\( = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - {x^2} - x - 1 - {x^2} + x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^3} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{x}\)b) Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{1}{x}\) nhận giá trị nguyên.Do đó, x thuộc ước của 1 nên \(x \in \left\{ {1;\; - 1} \right\}\)Mà \(x \ne 0,x \ne 1\) nên \(x =  - 1\)Vậy chỉ có một giá trị nguyên của x để P cũng nhận giá trị nguyên.