Đề bài

Gọi \(H\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^2} - 2x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\). a) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng \(H\). b) Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng \(H\) quay quanh trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình phẳng được tính theo công thức: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}\). b) Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{{\rm{x}}^2}} \right)dx}  = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{{\rm{x}}^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}\).