Đề bài

Hãy tính độ dài của cạnh của bát giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính \(\sqrt 2 cm\).

Lời giải chi tiết

Gọi AB là một cạnh của bát giác đều và (O) là đường tròn ngoại tiếp bát giác đều. Khi đó OAB là tam giác cân tại O có cạnh bên \(OA = OB = \sqrt 2 cm\) và góc ở đỉnh \(\widehat {AOB} = \frac{{{{360}^o}}}{8} = {45^o}\). Kẻ đường cao AH của tam giác OAB. Khi đó AHO là tam giác vuông cân tại H. Theo định lí Pythagore cho tam giác OAH vuông tại H, ta có \(O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = 2H{A^2}\). Suy ra \(HO = HA = \frac{{OA}}{{\sqrt 2 }} = 1\left( {cm} \right)\). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta được: \(AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {A{H^2} + {{\left( {OB - OH} \right)}^2}} \\= \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {cm} \right)\)