Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - x + 3}}\). Chứng tỏ rằng đường thẳng \(y =  - x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - x + 3}} =  - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\2{\rm{x}} - 1 =  - x\left( { - x + 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\2{\rm{x}} - 1 = {x^2} - 3{\rm{x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\{x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\) Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.1 = 21 > 0\) và \({3^2} - 5.3 + 1 =  - 5 \ne 0\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 3. Vậy đường thẳng \(y =  - x\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.