Đề bài

Cho đa thức \(G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23\) với \(b\) là một số cho trước sao cho \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên. Chứng tỏ rằng: \(G\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).

Lời giải chi tiết

Ta có:\(\begin{array}{l}G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23 = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + bx + 23\\ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x} \right) + \left( {\frac{1}{2}x + bx} \right) + 23\\ = \frac{{{x^2} - x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\end{array}\)Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên \(\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2}\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\). Mà \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên, suy ra \(\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).Vậy \(G\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).