Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) nhọn. Gọi \(H,K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\). Chứng minh rằng: a) \(BC \bot \left( {SAH} \right)\) và các đường thẳng \(AH,BC,SK\) đồng quy; b) \(SB \bot \left( {CHK} \right)\) và \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Chỉ ra  \(BC \bot SA,BC \bot AH\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).Gọi \(M\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\)\(CH \bot AB\)Ta có: \(BC \bot \left( {SAM} \right)\), suy ra \(BC \bot SM\), mà \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\) nên \(SM\) đi qua \(K\). Do đó, \(SK,AH,BC\) đồng quy tại \(M\).b)Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot CH\), mà , suy ra \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(CH \bot SB\), lại có \(SB \bot CK\) nên \(SB \bot \left( {CHK} \right)\).

 

Từ đó ta có \(SB \bot HK\), tương tự, ta chứng minh được \(SC \bot \left( {BHK} \right)\), suy ra \(SC \bot HK\). Do đó \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).