Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME. a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân. b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA. c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông. d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆DME và ∆FMN có:DM = FM (vì M là trung điểm của DF),\(\widehat {DME} = \widehat {FMN}\) (hai góc đối đỉnh),ME = MN (giả thiết)Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.Do đó DE = DF = FN.Tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.Vậy tam giác DFN cân tại F.b) Ta có \(M{\rm{D}} = MF = \frac{1}{2}DF\)và FA = FD nên \(MF = \frac{1}{2}F{\rm{A}}\)Mà AF + FM = AM nên AF + 1212AF = AMSuy ra \(\frac{2}{3}AF = AM\) hay \(AF = \frac{2}{3}AM\).Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và \(AF = \frac{2}{3}AM\) nên F là trọng tâm của tam giác NEA.Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.Suy ra tam giác FNA cân tại F.Do đó \(\widehat {F{\rm{A}}N} = \widehat {FNA}\) (hai góc ở đáy)•Vì tam giác DFN cân tại F nên \(\widehat {FDN} = \widehat {FND}\) (hai góc ở đáy)• Xét ∆DNA có \(\widehat {A{\rm{D}}N} + \widehat {DNA} + \widehat {NAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Suy ra \(\widehat {FND} + \widehat {DNA} + \widehat {FNA} = 180^\circ \) Hay \(\left( {\widehat {FND} + \widehat {FNA}} \right) + \widehat {DNA} = \widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ \)Suy ra \(2\widehat {DNA} = 180^\circ \)Do đó \(\widehat {DNA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.d) Xét ∆DMN và ∆FME có:DM = FM (vì M là trung điểm của DF),\(\widehat {DMN} = \widehat {FME}\) (hai góc đối đỉnh),EM = MN (giả thiết)Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)Suy ra \(\widehat {MDN} = \widehat {MFE}\) (hai góc tương ứng)Mà hai góc này ở vị trí so le trongNên EF // DNLại có \(\widehat {DNA} = 90^\circ \) (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.