Đề bài

Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC b) \(\Delta EAB=\Delta ECD\) c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta OAD\) và \(\Delta OCB\), ta có : OD = OB \(\widehat{O}\) chung OA = OC  Suy ra \( \Delta OAD=\Delta OCB\) (c-g-c ) Do đó \(AD = BC\) (2 cạnh tương ứng ) b) Vì \(\Delta OAD=\Delta OCB\) nên \(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}; \widehat{D}=\widehat{B}\) ( 2 góc tương ứng) Mà \(\widehat{OAD}+\widehat{BAD}=180^0\) ( 2 góc kề bù) \(\widehat{OCB}+\widehat{BCD}=180^0\) ( 2 góc kề bù) Do đó, \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) Vì \(OA+AB=OB; OC+CD=OD\) Mà \(OC = OA, OD = OB\) suy ra \( AB=CD\) Xét \(\Delta EAB\) và \(\Delta ECD\), ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {CDE}\) \(AB = CD\) \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\) Suy ra \( \Delta EAB=\Delta ECD\) (g-c-g) c) Vì \(\Delta EAB=\Delta ECD\) nên EB = ED ( 2 cạnh tương ứng) Xét \(\Delta OBE\) và \(\Delta ODE\), ta có : EB = ED OB = OD OE chung Suy ra \(\Delta OBE=\Delta ODE \)  (c.c.c) Do đó \( \widehat{BOE}=\widehat{DOE}\) ( 2 góc tương ứng) Dẫn đến OE là phân giác \(\widehat {xOy}\)