Đề bài

Hai đa thức A(x) và B(x) thoả mãn: \(A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4;A\left( x \right) - B\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\) a)Tìm A(x), B(x) rồi xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó. b)Tìm giá trị của mỗi đa thức A(x) và B(x) tại x = -1.

Lời giải chi tiết

a)\(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4\\A\left( x \right) - B\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} - 2\end{array}\)Lấy vế trái cộng vế trái, vế phải cộng vế phải, ta được:\(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) + A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) + \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2} \right)\\2A\left( x \right) = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 5{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( { - 2x} \right) + \left( {4 - 2} \right)\\2A\left( x \right) =  - 2{x^2} - 2x + 2\\A\left( x \right) =  - {x^2} - x + 1\end{array}\)Bậc: 2Hệ số cao nhất:-1Hệ số tự do: 1Mà \(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4\\ \Rightarrow B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) - A\left( x \right)\\ \Rightarrow B\left( x \right) = \left( {{x^3} - 5{x^2} - 2x + 4} \right) - \left( { - {x^2} - x + 1} \right)\\ \Rightarrow B\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} - 2x + 4 + {x^2} + x - 1\\ \Rightarrow B\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2} - x + 3\end{array}\) Bậc: 3Hệ số cao nhất: 1Hệ số tự do: 3b)Ta có:\(\begin{array}{l}A\left( { - 1} \right) =  - {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 1 =  - 1 + 1 + 1 = 1\\B\left( { - 1} \right) = {1^3} - {4.1^2} - 1 + 3 = 1 - 4 - 1 + 3 =  - 1\end{array}\)