Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-3 ; -1), B(3 ; 5), C(3 ; -4). Gọi G, H, I lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, AC

b) Tìm toạ độ các điểm G, H, I

c) Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (6;6),\overrightarrow {BC}  = (0; - 9),\overrightarrow {AC}  = (6; - 3)\)

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 1)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {AB}  = 0\). Khi đó AB đi qua A♔(-3 ; -1) và nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - 1)\) nên có PT:

x - y + 2 = 0

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;0)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {BC}  = 0\). Khi đó BC đi qua B(3 ; 5) và nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;0)\) nên có PT: x – 3 = 0

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_3}} .\overrightarrow {AC}  = 0\). Khi đó AC đi qua C꧒(3 ; -4) và nhận \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2)\) nên có PT:

x + 2y + 5 = 0

b) Ta có:

+ G là trọng tâm ∆ABC nên \( \Rightarrow G(1;0)\)

+ Gọi \(H({x_H};{y_H})\) là trực tâm ∆ABC🍰 . Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = ({x_H} + 3;{y_H} + 1),\overrightarrow {BH}  = ({x_H} - 3;{y_H} - 5)\)

Khi đó\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9({y_H} + 1) = 0\\6({x_H} - 3) - 3({y_H} - 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_H} + 1 = 0\\2{x_H} - {y_H} - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} =  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H(0; - 1)\)

+ Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = {( - 3 - {x_I}; - 1 - {y_I})^2} \Rightarrow IA = \sqrt {{{({x_I} + 3)}^2} + {{({y_I} + 1)}^2}}  \Rightarrow I{A^2} = {({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2}\)          \(\overrightarrow {IB}  = {(3 - {x_I};5 - {y_I})^2} \Rightarrow IB = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} - 5)}^2}}  \Rightarrow I{B^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\)          \(\overrightarrow {IC}  = {(3 - {x_I}; - 4 - {y_I})^2} \Rightarrow IC = \sqrt {{{({x_I} - 3)}^2} + {{({y_I} + 4)}^2}}  \Rightarrow I{C^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\)Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} - 5)^2}\\{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} - 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\end{array} \right.\)                          \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x_I} + 12{y_I} = 24\\12{x_I} - 6{y_I} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} + {y_I} = 2\\4{x_I} - 2{y_I} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)Vậy \(G(1;0),H(0; - 1),I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)c) Ta có: \(d(A,BC) = \frac{{\left| { - 3 - 3} \right|}}{1} = 6\)\(\overrightarrow {BC}  = (0; - 9) \Rightarrow BC = 9\)

Diện tích tam giác ABCꦡ là: \(S = \frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{2}.6.9 = 27\)