Đề bài

Cho Hình 106. Chứng minh:

a) \(A{H^2} = AB.AI = AC.AK\) b) \(\widehat {AIK} = \widehat {ACH}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AIH và tam giác AHB có: \(\widehat {AIH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung \( \Rightarrow \Delta AIH \backsim \Delta AHB\) (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{H^2} = AI.AB\) (1) Xét tam giác AKH và tam giác AHC có: \(\widehat {AKH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ,\,\,\widehat A\) chung \( \Rightarrow \Delta AKH \backsim \Delta AHC\) (g-g) \( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow A{H^2} = AK.AC\,\,\left( 2 \right)\)        Từ (1) và (2) ta có: \(A{H^2} = AB.AI = AC.AK\) b) Theo câu a ta có \(AB.AI = AC.AK \Rightarrow \frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}}\) Xét tam giác ABC và tam giác AKI có:  \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AC}}{{AI}},\,\,\widehat A\) chung \( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta AKI\) (c-g-c) \( \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {AIK} = \widehat {ACH}\)