Đề bài

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng a) \(AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\) b) \(AM < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) AI là đường vuông góc kẻ từ A xuống đoạn thẳng BC. \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI < AB\\AI < AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2AI < AB + AC\\ \Rightarrow AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\end{array}\) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên) b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD Xét \(\Delta ABM\) và \(DCM\) có AM = DM ( do M là trung điểm của AD) BM = CM ( do M là trung điểm của BC) \(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\)( 2 góc đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow AB = CD\)(2 cạnh tương ứng) Xét  \(\Delta ADC\) ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác) \( \Rightarrow \)   2AM < AC + AB \( \Rightarrow \)   AM < \(\dfrac{1}{2}\)(AB + AC)