Đề bài

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108c{m^2}\) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, \(0 < x < \sqrt {108} \)) và chiều cao là h (cm, \(h > 0\)). Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108c{m^2}\) nên \({x^2} + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\left( {cm} \right)\). Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2}.h = {x^2}.\frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\left( {c{m^3}} \right)\). Ta có: \(V' = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4},V' = 0 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 0\)). Bảng biến thiên:

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy \(x = 6\) cm. Khi đó, chiều cao của hình hộp là: \(\frac{{108 - {6^2}}}{{4.6}} = 3\left( {cm} \right)\).