Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\) c)\(y =  - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) d)\(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

Lời giải chi tiết

a) - Tập xác định: D = R \ {-1}. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \] Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x + 1) + 0 =  - \infty \) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang \(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của hàm số Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x =  - 2\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0). Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\) Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} =  - 2\) - Vẽ đồ thị: Tiệm cận đứng \({\rm{x}} =  - 1\), tiệm cận xiên \(y = x + 1\) Giao điểm với trục Oy là \((0,2)\)

b) - Tập xác định: D = R \ {2}. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \) Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0\) _nên \(y = x\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} 🌱\({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị: Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x. Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)) Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

c) - Tập xác định: D = R \ {-1}. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty \) Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) _nên \(y =  - x - 1\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} ﷺ\({y^\prime } =  - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),-1).và (-1, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị: Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1. Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

d) - Tập xác định: D = R \ {1}. - Sự biến thiên: Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \) Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi \(x \to  \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0\) _nên \(y =  - 2x - 1\) _{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:} 🌃\({y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 2\) Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),0) và (2, 🦄\(\infty \)), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} =  - 7\) - Vẽ đồ thị: Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1. Giao điểm với trục Oy là (0,1)