Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \);
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC} \);
🐻c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).

Lời giải chi tiết

a) Vì AA’ // CC’ nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \) ngược hướng nhau. Suy ra, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = {180^0}\). Do đó, \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {C'C}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {C'C} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = 2.2.\cos {180^o} =  - 4\). b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'AD} = {90^o}\). Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {A'AD} = {90^o}\). Ta có: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2.1.\cos {90^o} = 0\). c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {BA} \). Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {CAB} = {45^o}\) và \(AC = \sqrt 2 \). Ta có: \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'A'}  =  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - \sqrt 2 .1.\cos {45^0} =  - 1\). Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'A'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'A'} }}{{AC.B'A'}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 .1}} = {135^o}\).