Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp. b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật là: - A trùng với gốc tọa độ, tức A(0; 0; 0) . - B thuộc tia Ox , nên B(1; 0; 0) (vì AB = 1 ). - D thuộc tia Oy , nên D(0; 2; 0) (vì AD = 2 ). - A’ thuộc tia Oz , nên A’(0; 0; 3) (vì AA’ = 3 ). Các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật: - C đối với A qua BD , tọa độ là C(1; 2; 0) . - B’ đối với A qua A’C , tọa độ là B’(1; 0; 3) . - D’ đối với A qua A’D , tọa độ là D’(0; 2; 3) . - C’ đối với A qua B’D , tọa độ là C’(1; 2; 3) . b) Tọa độ của điểm E trên đường thẳng DD’ : - Đường thẳng DD’ có phương trình dạng: \(x = 0,\quad y = 2,\quad z = t{\rm{.}}\) với t là tham số. Tọa độ của E là E(0; 2; t) . Để \(B'E \bot A'C\), cần: \(\overrightarrow {B'E}  \cdot \overrightarrow {A'C}  = 0\) Tính các vectơ: \(\overrightarrow {B'E}  = (0 - 1;2 - 0;t - 3) = ( - 1;2;t - 3)\) \(\overrightarrow {A'C}  = (1 - 0;2 - 0;0 - 3) = (1;2; - 3)\) Điều kiện vuông góc: \(\overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {A'C}  = ( - 1) \times 1 + 2 \times 2 + (t - 3) \times ( - 3) =  - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\) Giải phương trình này: \( - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\quad  \Rightarrow \quad 12 = 3t\quad  \Rightarrow \quad t = 4\) Vậy tọa độ của E là E(0; 2; 4) .