Đề bài

  Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian \(t\) cho bởi công thức \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\), với \(y\) được tính theo \(mg/l\) và \(t\) được tính theo giờ, \(t \ge 0\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y(t)\). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn?

(Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Lời giải chi tiết

Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } (5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{45{t^2} - 15t + 5}}{{9{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{45 - \frac{{15}}{t} + \frac{5}{{{t^2}}}}}{{9 + \frac{1}{{{t^2}}}}} = 5\)\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } (5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } \frac{{45{t^2} - 15t + 5}}{{9{t^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } \frac{{45 - \frac{{15}}{t} + \frac{5}{{{t^2}}}}}{{9 + \frac{1}{{{t^2}}}}} = 5\) Vậy đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Nhận xét: Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ tiến dần về 5mg/l