Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = 3x(1 - x)\) b) \(f(x) = {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{x^2}}}\) d) \(f(x) = {(2x - 1)^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Tính tích phân của \(f(x) = 3x(1 - x)\): \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {(3x - 3{x^2})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - {x^3} + C\) b) Tính tích phân của \(f(x) = {3^{2x}}\): Đặt \(u = 2x\) thì \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{1}{2}du\) \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {{3^{2x}}dx}  = \int {{3^u}.\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int {{3^u}du = \frac{1}{2}.\frac{{{3^u}}}{{\ln 3}}}  + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln (3)}}}  + C\) c) Tính tích phân của \(f(x) = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{x^2}}}\): \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx = x - \ln |x| - \frac{2}{x} + C\) d) Tính tích phân của \(f(x) = {(2x - 1)^2}\): Triển khai \({(2x - 1)^2} = 4{x^2} - 4x + 1\), sau đó tích phân: \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {(4{x^2} - 4x + 1)} {\mkern 1mu} dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C\)