Đề bài

  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là (C). Xét điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Lời giải chi tiết

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) nên \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\) Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx}  = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\) Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên M(0; 0). Do đó ta có: \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\).