Đề bài

Cho hai đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(P\) với \(R \ne r\), đường thẳng \(a\) lần lượt tiếp xúc với \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tại \(A\) và \(B,a\) cắt \(KI\) tại \(O\). Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(IK\) cắt đường thẳng \(a\) tại \(M\). Chứng minh: a) \(\frac{{OI}}{{OK}} = \frac{r}{R}\); b) \(AB = 2MP\); c) \(\widehat {IMK} = 90^\circ \).

Lời giải chi tiết

a) Do \(AI\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\) nên \(AI \bot AB\) Do \(BK\) là tiếp tuyến của \(\left( K \right)\) nên \(KB \bot AB\) Từ đó suy ra \(AI//BK\) Xét tam giác \(OBK\) có: \(AI//BK \Rightarrow \frac{{OI}}{{OK}} = \frac{{AI}}{{BK}} = \frac{r}{R}\) (định lí Thalet). b) Xét \(\left( I \right)\) có \(MP,MA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow MP = MA\)(1). Xét \(\left( K \right)\) có \(MP,MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow MP = MB\)(2). Từ (1) và (2) suy ra \(MP + MP = MA + MB \Rightarrow 2MP = AB\) c) Do \(AI//BK \Rightarrow \widehat {OIA} = \widehat {IKB}\) (2 góc đồng vị). Mà \(\widehat {AIK} + \widehat {OAI} = 180^\circ \) (2 góc kề bù) nên \(\widehat {AIK} + \widehat {IKB} = 180^\circ \) (3). Do \(MP,MA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow IM\) là phân giác \(\widehat {AIP} \Rightarrow \widehat {MIP} = \frac{1}{2}\widehat {AIP}\) (4). Do \(MP,MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau \( \Rightarrow KM\) là phân giác \(\widehat {IKP} \Rightarrow \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {IKP}\) (5). Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\frac{1}{2}\widehat {AIP} + \frac{1}{2}\widehat {IKP} = \frac{1}{2}.180^\circ  \Rightarrow \widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ \) Xét tam giác \(IMK\) có: \(\widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \)