Đề bài

  Cho hàm số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 2\} \)

• Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5\\x = 1\end{array} \right.\) Trên các khoảng (\( - \infty \); -5), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-5; -2) và (-2;1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

• Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  + \infty \) \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2x}} =  - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} + x) = 5\) nên y = -x  + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = \(\frac{1}{2}\) nên (0; \(\frac{1}{2}\)) là giao điểm của y với trục Oy

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -5 và \({y_{ct}} = 13\) Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 1\) Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là \((\frac{{ - 5 + 1}}{2};\frac{{13 + 1}}{2}) = ( - 2;7)\). Điểm này là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số