Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: a) \(BD \bot AB,CD \bot AC.\) b) Tứ giác BHCD là hình bình hành. c) \(A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.\) d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.

Lời giải chi tiết

a)     Chứng minh: \(BD \bot AB\) Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OB = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra \(OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\) Do đó \(OB = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\) Xét tam giác ABD có đường trung tuyến BO và \(OB = \frac{{AD}}{2}\) nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra \(BD \bot AB\) Chứng minh: \(CD \bot AC.\) Vì tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OC = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra \(OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\) Do đó \(OC = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\) Xét tam giác ACD có đường trung tuyến CO và \(OC = \frac{{AD}}{2}\) nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra \(CD \bot AC.\)

b)    Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC nên \(BH \bot AC\),\(CH \bot AB\)

Ta lại có: \(BH \bot AC\), \(CD \bot AC\)(câu a) nên BH // DC. \(CH \bot AB\), \(BD \bot AB\) (câu a) nên CH // BD. Xét BHCD có: BH // DC, CH // BD (cmt) suy ra BHCD là hình bình hành (dhnb). c)     Do BHCD là hình bình hành nên BH = CD. Xét tam giác ADC vuông tại C có: \(A{C^2} + C{D^2} = A{D^2}\), mà BH = CD, AD = 2R nên: \(A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}\). d)    Do BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD. Hay H, M, D thẳng hàng. Xét tam giác AHD có: M là trung điểm của HD (cmt), O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình, suy ra \(OM = \frac{1}{2}AH\) hay \(AH = 2OM.\)