Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\): - Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\). - Tính các vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {BC}  = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD}  = (4,3,5)\) - Tính tích có hướng: \(\vec n = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = ( - 1, - 2,2)\) - Phương trình mặt phẳng có dạng: \(x + 2y - 2z - 3 = 0\) Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\): - Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {FD}  \to \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OF}  \to \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {BC}  = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\) - Xét các điểm  \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\). - Tính các vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF}  = ( - 9;3; - 9)\) - Tính tích có hướng: \(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AF}  = (30;45; - 15)\) - Phương trình mặt phẳng có dạng: \(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\) Phương trình mặt phẳng \((DEF)\): - Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {EF}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {OE}  \to \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {AB}  = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\) - Xét các điểm  \(D(1;2;1)\), \(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\). - Tính các vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow {DE}  = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF}  = ( - 8;0; - 4)\) - Tính tích có hướng: \(\vec n = \overrightarrow {DE}  \times \overrightarrow {DF}  = (0; - 60;0)\) - Phương trình mặt phẳng có dạng: \( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow  - y + 2 = 0\) b) Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là: \(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\) Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\). Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là: \(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)  Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).