Đề bài

Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1.\)

Lời giải chi tiết

Độ dài của các vectơ pháp tuyến: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\): \(\overrightarrow {{n_{OAB}}}  = \overrightarrow {OA}  \times \overrightarrow {OB}  = (a,0,0) \times (0,b,0) = (0,0,ab)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OBC)\): \(\overrightarrow {{n_{OBC}}}  = \overrightarrow {OB}  \times \overrightarrow {OC}  = (0,b,0) \times (0,0,c) = (bc,0,0)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAC)\): \(\overrightarrow {{n_{OAC}}}  = \overrightarrow {OA}  \times \overrightarrow {OC}  = (a,0,0) \times (0,0,c) = (0,ac,0)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\): \(\overrightarrow {{n_{ABC}}}  = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = ( - a,b,0) \times ( - a,0,c) = (bc,ac,ab)\). Tính cosin của các góc: - \(\cos \alpha  = \frac{{|ab \cdot ab|}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\). - \(\cos \beta  = \frac{{|bc \cdot bc|}}{{bc \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\). - \(\cos \gamma  = \frac{{|ac \cdot ac|}}{{ac \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\). Tổng các bình phương: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = {\left( {\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2}\) \( = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}.\) \( = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} = 1.\) Vậy ta đã chứng minh được rằng: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1.\)