Đề bài

  Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin x + 1\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng A. \(\frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}\). B. \(\frac{{{\pi ^2} - 4\pi  + 16}}{8}\). C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi  - 8}}{4}\). D. \(\frac{{{\pi ^2} - 2\pi  + 8}}{4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx}  =  - 2\cos x + x + C\). Do đó, \(f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + C\) Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 2\cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3\) nên \(f\left( x \right) =  - 2\cos x + x + 3\) Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - 2\cos x + x + 3} \right)dx}  = \left( { - 2\sin x + \frac{{{x^2}}}{2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. =  - 2\sin \frac{\pi }{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2}\) \( =  - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{{\pi ^2} + 12\pi  - 16}}{8}\) Chọn A