Đề bài

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau. b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta \)ABM và \(\Delta \)ADN ta có: AB = AD \(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}( = {90^o})\) \(\widehat {BAM} = \widehat {NAD}\)(cùng phụ với \(\widehat {DAM}\)) Do đó \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN (g.c.g) b) Ta có AM = AN (do \(\Delta \)ABM = \(\Delta \)ADN) Suy ra \(\Delta \) AMN cân tại A Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM) Nên AO cũng là đường cao suy ra AO \( \bot \) NM tại O. Tam giác ABM vuông tại B và tam giác AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM nên tứ giác ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM. Tam giác ADN vuông tại D và tam giác AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN nên tứ giác AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN. c) Tam giác NAM vuông tại A (do góc xAy vuông) và tam giác NCM vuông tại C cùng nội tiếp đường tròn đường kính MN nên tứ giác AMCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MN. Điểm O là trung điểm của MN nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN. Suy ra OA = OC suy ra O thuộc đường trung trực của AC. Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông) nên D và B thuộc đường trung trực của AC. Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC. Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.