Đề bài

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Làm thế nào để tính diện tích logo?

Lời giải chi tiết

Gọi phương trình parabol f(x) là \(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\) và phương trình parabol g(x) là \(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\). Quan sát Hình 3, thấy đồ thị f(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;2), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = {a_1}{.0^2} + {b_1}.0 + {c_1}\\0 = {a_1}{.4^2} + {b_1}.4 + {c_1}\\y = {a_1}{( - 4)^2} + {b_1}( - 4) + {c_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} =  - \frac{1}{8}\\{b_1} = 0\\{c_1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow y =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\). Quan sát Hình 3, thấy đồ thị g(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;-3), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = {a_2}{.0^2} + {b_2}.0 + {c_2}\\0 = {a_2}{.4^2} + {b_2}.4 + {c_2}\\0 = {a_2}{( - 4)^2} + {b_2}( - 4) + {c_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = \frac{3}{{16}}\\{b_2} = 0\\{c_2} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\). Ta có \(f(x) - g(x) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2 - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) =  - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5\). Diện tích logo là: \(S = \int\limits_{ - 5}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {g(x) - f(x)} \right)dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \) \( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)dx}  + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)dx} \) \( = \left( {\frac{5}{{48}}{x^3} - 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 4}}\\{_{ - 5}}\end{array}} \right. + \left( { - \frac{5}{{48}}{x^3} + 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_{ - 4}}\end{array}} \right. = \frac{{45}}{{48}} + \frac{{80}}{3} = \frac{{1345}}{{48}}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).