Khám phá 1

♑Trong Hình 1, cho biết A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

𒁃a) Xét xem hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng không?

🐓b) Thảo luận nhóm để tìm xem có phép biến hình nào biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ không?

 

Phương pháp giải:

Quan sát hình 1 và chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp c.c.c

Lời giải chi tiết:

a) Ta có A’ là trung điểm của OA. Suy ra \(OA' = \frac{1}{2}OA\) hay \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{1}{2}\) và \(\frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{1}{2}\) Do \(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}}\left( { = \frac{1}{2}} \right)\) nên áp dụng định lí Thales đảo, ta được A’B’ // AB. Từ A’B’ // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = 2\) Chứng minh tương tự, ta được \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = 2\) và \(\frac{{AC}}{{A'C'}} = 2\) Xét \(\Delta ABC{\rm{ }}\) và  có: \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\left( { = 2} \right)\) Vậy \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta A\prime B\prime C\prime \) (c.c.c). b) Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm A thành điểm A’, biến điểm B thành điểm B’, biến điểm C thành điểm C’. Ta có A’ là trung điểm OA (giả thiết). Suy ra \(\overrightarrow {OA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \) Do đó phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ thỏa mãn \(\overrightarrow {OA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \,\,(1)\) Thực hiện tương tự, ta được \(\overrightarrow {OB'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \) Suy ra phép biến hình biến điểm B thành điểm B’ thỏa mãn \(\overrightarrow {OB'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \,\,(2)\) Thực hiện tương tự, ta được \(\overrightarrow {OC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \) Do đó phép biến hình biến điểm C thành điểm C’ sao cho \(\overrightarrow {OC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \,\,(3)\) Từ (1), (2), (3), ta thu được phép biến hình biến \(\Delta ABC\) thành   là phép biến hình biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’, C’ thỏa mãn \(\overrightarrow {OA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} ,\,\overrightarrow {OC'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} \) với O là giao điểm của ba đường thẳng AA’, BB’, CC’.

Thực hành 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 9). Tìm tọa độ các điểm M₁ và M₂🌠 lần lượt là ảnh của M qua các phép vị tự \({V_{\left( {O,{\rm{ }}3} \right)}}\;\) và \({V_{(O,{\rm{ }}-2)}}.\)

Phương pháp giải:

Nếu \({V_{(I,k)}}{\rm{[}}M(x,y){\rm{]}} = M'(x',y')\). Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' - a = k(x - a)\\y' - b = k(y - b)\end{array} \right.\) với \(I(a;b)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {OM}  = \left( {3;9} \right)\) ⦁ Gọi \({M_1}({x_1};{\rm{ }}{y_1}),\;\) ta có \(\overrightarrow {O{M_1}}  = \left( {{{\rm{x}}_1};{{\rm{y}}_1}} \right)\) Theo đề, ta có \(\;{V_{(O,{\rm{ }}3)}}\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{M_1}.\) Suy ra \(\overrightarrow {O{M_1}}  = 3\overrightarrow {OM} \) Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_1} = 3.3 = 9}\\{{{\rm{y}}_1} = 3.9 = 27}\end{array}} \right.\)

Vì vậy tọa độ M₁(9; 27).

⦁ Gọi \({M_2}({x_2};{\rm{ }}{y_2}),\;\) ta có \(\overrightarrow {O{M_2}}  = \left( {{{\rm{x}}_2};{{\rm{y}}_2}} \right)\) Theo đề, ta có \({V_{\left( {O,{\rm{ }}-2} \right)}}\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{M_2}.\) Suy ra \(\overrightarrow {O{M_2}}  =  - 2\overrightarrow {OM} \) Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_2} =  - 2.3 =  - 6}\\{{{\rm{y}}_2} =  - 2.9 =  - 18}\end{array}} \right.\) Vì vậy tọa độ \({M_2}\left( {-6;{\rm{ }}-18} \right).\) Vậy \({M_1}\left( {9;{\rm{ }}27} \right),{M_2}\left( {-6;{\rm{ }}-18} \right).\)

Vận dụng 1

Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là hình bình hành và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng. Khi sử dụng, người vẽ ghim cố định điểm O xuống mặt giấy (thước vẫn có thể xoay quanh O). Đặt hai cây bút tại hai điểm D và D’. Khi đầu bút D vẽ hình ℋ, đầu bút D’ sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ ’ là ảnh của ℋ.

🐠a) Xác định tâm và tỉ số k của phép vị tự được sử dụng trong cây thước vẽ truyền ở Hình 5.

 

b) Nếu ngược lại cho đầu bút D’ vẽ hình ℋ ’ khi đó đầu bút D sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ là ảnh của ℋ ’. Xác định phép vị tự trong trường hợp này.

Phương pháp giải:

Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Lời giải chi tiết:

a) Do ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết), suy ra \(\overrightarrow {OD'}  = k\overrightarrow {OD} \) Do đó \({V_{(O,{\rm{ }}k)}}\left( D \right){\rm{ }} = {\rm{ }}D'\) và \(OD'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.OD.\) Vì D, D’ nằm cùng phía đối với O nên \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0.\) Suy ra \(k = \frac{{OD'}}{{OD}}\) Ta có AB // BD’ (do ABCD là hình bình hành) và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết). Khi đó áp dụng định lí Thales, ta được \(k = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{{OA}}{{OB}}\) Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {O,\frac{{OA}}{{OB}}} \right)}}\) b) Từ câu a, ta có \(\overrightarrow {OD'}  = k\overrightarrow {OD} \,\,\left( {k{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right).\) Suy ra \(\overrightarrow {OD}  = \frac{1}{k}\overrightarrow {OD'} \) Khi đó \({V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {D'} \right) = D\) Ta có \(\frac{1}{k} = 1:\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\) Vậy phép vị tự cần tìm là \({{\rm{V}}_{\left( {O,\frac{{OB}}{{OA}}} \right)}}\)