HĐ1

Cho hình thang cân ABCD, AC // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.

b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC

Phương pháp giải:

a) Chứng minh: ∆AHI = ∆IBA (g.c.g). Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng). b) Chứng minh: ∆AHD = ∆BIC (góc - góc). Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Lời giải chi tiết:

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\) (hai góc so le trong). Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI. Do đó \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong). Xét ∆AHI và ∆IBA có: \(\widehat {BAI} = \widehat {AIH}\) (chứng minh trên); Cạnh AI chung;  \(\widehat {AIB} = \widehat {HAI}\) (hai góc so le trong). Do đó ∆AHI = ∆IBA (g.c.g). Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng). b) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên \(\widehat C = \widehat D\). Vì ∆AHD và ∆BIC có: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) và \(\widehat C = \widehat D\) nên \(90^o - \widehat C = 90^o - \widehat {BIC} \Leftrightarrow \widehat {DAH} = \widehat {CBI}\)  Xét ∆AHD và ∆BIC có: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {BIC} = {90^o}\) (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD); \(AH = BI\) (chứng minh trên \(\widehat {DAH} = \widehat {CBI}\) (chứng minh trên). Do đó ∆AHD = ∆BIC (góc - cạnh - góc). Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

LT 2

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng \(\widehat A = \widehat B = \widehat {{D_1}}\). Chứng minh rằng AD = BC.

Phương pháp giải:

Chứng minh ABCD là hình thang có \(\widehat A = \widehat B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\widehat A = \widehat {{D_1}}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD. Suy ra tứ giác ABCD là hình thang. Mặt khác hình thang ABCD có \(\widehat A = \widehat B\) nên ABCD là hình thang cân. Do đó AD = BC (đpcm).

HĐ2

Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC. Từ đó suy ra AC = BD

Phương pháp giải:

Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\) Xét ∆ACD và ∆BDC có AD = BC (chứng minh trên); \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\) (chứng minh trên); Cạnh CD chung. Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c). Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

LT 3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE = CD.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình thang cân.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC Suy ra DECB là hình thang. Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\). Hình thang DECB có \(\widehat B = \widehat C\) nên tứ giác DECB là hình thang cân. b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo. Do đó BE = CD (đpcm).