HĐ2

Cho đường conic có tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) và một điểm M là điểm nằm trên đường conic đó. Tìm mối liên hệ giữa tỉ số \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}\) và tên gọi của đường conic đó.

Lời giải chi tiết:

+ Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y) \in (E)\) \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e\), \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - ex}}{{\frac{{a - ex}}{e}}} = e\) Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} < 1\) + Hypebol (H):  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y) \in (H)\) \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\); \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ; Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} > 1\) + Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1\) Kết luận các đường conic đều có \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\) và \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} < 1\) thì conic là đường elip \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1\) thì conic là đường parabol \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} > 1\) thì conic là đường hypebol  

Thực hành 2

Xác định tâm sai, tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau: a) \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) b) \(\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) c) \({y^2} = \frac{1}{2}x\)

Phương pháp giải:

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) + Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\) + Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) + Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\). b) Hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a}\) + Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) + Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\). c) Parabol (P)  \({y^2} = 2px\) + Tâm sai \(e = 1\) + Tiêu điểm \(F(\frac{p}{2};0)\) + Đường chuẩn: \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}\)

Lời giải chi tiết:

a) Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 \) + Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\) + Tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 3 ;0),{F_2}(\sqrt 3 ;0)\) + Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\). b) Hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\), \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4\) + Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) + Tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) + Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - 3\) và \({\Delta _2}:x = 3\). c) Parabol (P): \({y^2} = \frac{1}{2}x\), suy ra \(p = \frac{1}{4}\) + Tâm sai \(e = 1\) + Tiêu điểm \(F(\frac{1}{8};0)\) + Đường chuẩn: \(\Delta :x =  - \frac{1}{8}\)  

Vận dụng 2

Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol.

Tên	Tâm sai
Trái Đất	0,0167
Sao chổi Halley	0,9671
Sao chổi Great Southern of 1887	1,0
Vật thể Oumuamua	1,2

(Nguồn: //vi.wikipedia.org/wiki/oumuamud)

Phương pháp giải:

Đường conic có tâm sai e: + \(0 < e < 1\) thì conic là đường elip + \(e = 1\) thì conic là đường parabol + \(e > 1\) thì conic là đường hypebol

Lời giải chi tiết:

Tên	Tâm sai	So sánh với 0 và 1	Kết luận
Trái Đất	0,0167	0 < 0,0167 < 1	Elip
Sao chổi Halley	0,9671	0 < 0,9671 < 1	Elip
Sao chổi Great Southern of 1887	1,0	1	Parabol
Vật thể Oumuamua	1,2	1,2 > 1	hypebol