HĐ 4

♐Cho tứ giác \(ABCD\) có bốn góc bằng nhau và có bốn cạnh bằng nhau. Hãy chứng tỏ \(ABCD\) vừa là hình thoi vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

𒁏Xét tứ giác \(ABCD\) có bốn góc bằng nhau: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D\) mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

🔯Suy ra \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \frac{{360^\circ }}{4} = 90^\circ \)

Suy ra \(ABCD\) là hình chữ nhật

൲Xét tứ giác \(ABCD\) có bốn cạnh \(AB = BC = CD = DA\) nên là hình thoi

ꦯVậy \(ABCD\) vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

HĐ 5

ꦕCho hình vuông \(MNPQ\). Chứng minh \(MNPQ\) vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì \(MNPQ\) là hình vuông (gt)

ജSuy ra \(MN = NP = PQ = QM\) nên \(MNPQ\) là hình thoi

♛Và \(\widehat M = \widehat N = \widehat P = \widehat Q = 90^\circ \) nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật

Vậy\(MNPQ\) vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

TH 3

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

ღa) Xét tứ giác \(MNPQ\) có hai đường chéo \(MP\) và \(NQ\) cắt nhau tại trung điểm \(O\)

Suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành

Mà hai đường chéo \(MP\) và \(NQ\) vuông góc

Suy ra \(MNPQ\) là hình thoi

Mà \(MP = 2OM\); \(NQ = 2ON\) và \(OM = ON\) (gt)

Suy ra \(MP = NQ\)

Suy ra \(MNPQ\) là hình vuông

b) Tứ giác \(URST\) có:

\(UR = RS = ST = TU\) (gt)

Suy ra \(URST\) là hình thoi, hình bình hành

Mà \(\widehat {{\rm{UR}}S} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra \(URST\) là hình chữ nhật

Do đó \(URST\) có 4 góc vuông

Mà \(URST\) có 4 cạnh bằng nhau

Suy ra \(URST\) là hình vuông

VD 3

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

HĐ 6

꧂Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Giải thích tại sao \(ABCD\) là hình vuông trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(AB = BC\)

Trường hợp 2: \(AC\) vuông góc với \(BD\)

🐷Trường hợp 3: \(AC\) là đường phân giác của góc \(BAD\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(ABCD\) là hình chữ nhật (gt)

♓Suy ra \(AB = CD\); \(AD = BC\); \(AB\) // \(CD\); \(AD\) // \(BC\) (3)

🦄\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \) (1)

𝐆Nếu \(AB = BC\) (gt) thì  \(AB = BC = CD = DA\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(ABCD\) là hình vuông

Nếu \(AC\) vuông góc với \(BD\)

Mà \(ABCD\) cũng là hình bình hành

Suy ra \(ABCD\) là hình thoi

Suy ra \(AB = BC = CD = DA\) (4)

Từ (1) và (4) suy ra \(ABCD\) là hình vuông

\(AC\) là phân giác của góc \(BAD\)

Mà \(ABCD\) là hình bình hành

Suy ra \(ABCD\) là hình thoi

Suy ra \(AB = BC = CD = DA\) (5)

Từ (1) và (5) suy ra \(ABCD\) là hình vuông

HĐ 7

Cho hình thoi \(ABCD\). Hãy chứng tỏ:

𓆉a) Nếu \(\widehat {BAD}\) là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.

ওb) Nếu \(AC = BD\) thì \(\widehat {BAD}\) là góc vuông

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(ABCD\) là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

\(AB = BC = CD = DA\);

📖\(\widehat A = \widehat C;\;\widehat B = \widehat D\)

☂ \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

🍨Suy ra: \(\widehat A + \widehat B = \widehat C + \widehat D = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {BAD}\) là góc vuông

𓂃Suy ra \(\widehat {BCD} = 90^\circ \); \(\widehat B = 90^\circ ;\;\widehat D = 90^\circ \)

b) Nếu \(AC = BD\) thì \(ABCD\) là hình chữ nhật

Khi đó \(\widehat {BAD}\) là góc vuông

TH 4

🌞Trong Hình 12, cho biết \(ABCD\) là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông

b) \(HE = HG\)

c) Tứ giác \(EFGH\) là một hình vuông

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

ꦇa) Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\); \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \)

🌌Mà \(AE = BF = CG = HD\) (gt) suy ra \(BE = CF = DG = AH\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta DHG\) ta có:

\(\widehat {\rm{A}} = \widehat {\rm{D}} = 90\)

\(AE = GH\) (gt)

\(AH = DG\) (gt)

Suy ra \(\Delta AEH = \Delta DHG\) (c-g-c)

𒁏Suy ra \(\widehat {{\rm{AEH}}} = \widehat {{\rm{DHG}}}\) (hai góc tương ứng)

🐠Mà \(\widehat {AEH} + \widehat {AHE} = 90^\circ \)

𒈔Suy ra \(\widehat {DHG} + \widehat {AHE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {EHG} = 90^\circ \)

ꦐChứng minh tương tự ta được \(\widehat {HGF} = 90^\circ ;\;\widehat {GFE} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông.

b) Vì \(\Delta AEH = \Delta DHG\) (cmt)

Suy ra \(HE = HG\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EFGH\) là hình vuông

🍨c) chứng minh tương tự câu b ta có: \(HE = EF\); \(HE = FG\)

ꦡKhi đó \(EFGH\) có \(HE = HG = EF = FG\) nên là hình thoi (3)

ꦯTứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(EFGH\) là hình vuông

VD 4

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết: