Luyện tập – vận dụng 1

Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau: a) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 4x - 5\) b) \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 9\)

Phương pháp giải:

Sử dụng biệt thức thu gọn \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\) với \(b = 2b'\). + Nếu \(\Delta ' < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a vời mọi \(x \in \mathbb{R}\). + Nếu \(\Delta ' = 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a vời mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{b'}}{a}} \right\}\). + Nếu \(\Delta ' > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó: \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\); \(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(a =  - 2 < 0\), \(b = 4 =  > b' = 2\) và \(c =  - 5\) \(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) =  - 6 < 0\) =>\(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a. => \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\) b) Ta có: \(a =  - 1,b = 6,c =  - 9 =  > b' = 3\) \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\) \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - b'}}{a} = 3\) => \(f\left( x \right)\) cùng dấu âm với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\) => \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Luyện tập – vận dụng 2

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8\) và hệ số a. Bước 2: Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 8\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 4,{x_2} = 2\) và hệ số \(a =  - 1 < 0\). Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\) như sau: