Hoạt động 2

a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 2\) b) Giải bất phương trình \({x^2} - x - 2 > 0\)

Phương pháp giải:

a) Tìm nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 2 = 0\), xét hệ số và lập bảng xét dấu. b) Dựa vào bảng xét dấu, lấy các khoảng để \(f\left( x \right) > 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 2\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1,{x_2} = 2\) và hệ số \(a = 1 > 0\) Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)b) Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 2\end{array} \right.\)

Luyện tập – vận dụng 2

Giải các bất phương trình bậc hai sau: a) \(3{x^2} - 2x + 4 \le 0\) b) \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0\)

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình dạng \(f\left( x \right) > 0\). Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của \(f\left( x \right)\)(nếu có) Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho \(f\left( x \right)\) mang dấu “+” Bước 3: Các bất phương trình bậc hai có dạng \(f\left( x \right) < 0,f\left( x \right) \ge 0,f\left( x \right) \le 0\) được giải bằng cách tương tự.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(a = 3 > 0\) và tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) có \(\Delta ' = {1^2} - 3.4 =  - 11 < 0\) => \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) vô nghiệm. => \(3{x^2} - 2x + 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) b) Ta có: \(a =  - 1 < 0\) và \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\) => \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x - 9\) có nghiệm duy nhất \(x = 3\). => \( - {x^2} + 6x - 9 < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Hoạt động 3

Cho bất phương trình \({x^2} - 4x + 3 > 0\left( 2 \right)\).

Quan sát parabol \(\left( P \right):{x^2} - 4x + 3\) ở Hình 26 và cho biết: a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành. b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x.

Phương pháp giải:

- Nếu dấu bất phương trình dương thì bất phương trình biểu diễn phần (P) phía trên trục hoành và ngược lại.

Lời giải chi tiết:

a) Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía trên trục hoành. b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với các giá trị của x thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Luyện tập – vận dụng 3

Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị: a) \({x^2} + 2x + 2 > 0\) b) \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đồ thị biểu diễn các hàm số. Bước 2: Quan sát đồ thị và lấy các giá trị tương ứng với bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy \({x^2} + 2x + 2 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x + 2 > 0\) là \(\mathbb{R}\). b) Ta có đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y =  - 3{x^2} + 2x - 1\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với \(x \in \emptyset \) Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) là \(\emptyset \).