1. Khái niệm tích phân

Một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân

a) Quãng đường đi được của một vậtXét một vật chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) (0 < t < T) và không đổi chiều chuyển động. Gọi F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của v(t) trên khoảng (0;T) thì quãng đường vật đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là L = F(b) − F(a) với 0 < a < b < T.b) Diện tích hình thang cong

Cho hàm số  f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b], người ta chứng minh được rằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b bằng F(b) − F(a), với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

Ví dụ: ꦺTính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = {x^2} + 1\) và các đường thẳng x = -1, x = 2.

Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Ta còn dùng ký hiệu F(x) để chỉ hiệu số F(b) − F(a).Vậy \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b\\a\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).Ta gọi \(\int\limits_a^b {} \) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f\left( x \right)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Ghi chú:

- Quy ước: \(\int\limits_a^0 {f(x)dx}  = 0\), nếu b > a thì \(\int\limits_b^a {f(x)dx}  =  - \int\limits_a^b {f(x)dx} \).- Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  = \int\limits_a^b {f(t)dt} \).

- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì diện tích S của hình thang cong (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b là \(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Ví dụ:

a) \(\int\limits_2^3 {3{x^2}dx}  = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = {3^3} - {2^3} = 27 - 8 = 19\).b) \(\int\limits_2^3 {{e^t}dt}  = {e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1\).

2. Tính chất của tích phân

+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b)

Ví dụ:

a) Cho \(\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx}  = 2(e - 1)\). Tính \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx} \).Ta có \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx}  = \frac{1}{2}.2(e - 1) = e - 1\).b) Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx} \).\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx}  = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \)\( = ( - 3\cos x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. - \sin \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. =  - 3(0 - 1) - (1 - 0) = 2\).c) Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [1;3] và \(\int\limits_1^2 {f(x)dx}  = \frac{1}{2}\), \(\int\limits_2^3 {f(x)dx}  = \frac{3}{2}\), \(\int\limits_1^3 {g(x)dx}  =  - 1\).Ta có:\(\int\limits_1^3 {f(x)dx}  = \int\limits_1^2 {f(x)dx}  + \int\limits_2^3 {f(x)dx}  = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\).\(\int\limits_1^3 {[2f(x) + g(x)]dx}  = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx}  + \int\limits_1^3 {f(x)dx}  = 2.2 - 1 = 3\).

3. Tính tích phân trong một số trường hợp đơn giản

a) \(\int\limits_1^2 {{{(2x - 3)}^2}dx}  = \int\limits_1^2 {(4{x^2} - 12x + 9)dx}  = 4\int\limits_1^2 {{x^2}dx}  - 12\int\limits_1^2 {xdx}  + \int\limits_1^2 {9dx} \)\( = \left( {\frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. - \left( {6{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. + (9x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{1}{3}\).b) \(\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x - 1}}dx}  = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x}}dx}  = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{{25}^x}dx}  = \frac{{{{25}^x}}}{{5\ln 25}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{{24}}{{125\ln 25}}\).c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {(2{{\tan }^2}x + 5)dx}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\left[ {2(1 + {{\tan }^2}x) + 3} \right]dx}  = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {3dx} \)\( = 2(\tan x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array} + (3x)} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right. = \frac{{3\pi  + 8}}{4}\).