Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat {BAD} = {60^0}\). Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\). a) Chứng minh rằng \(BD \bot SC\). b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\) b) Trong (SAC) kẻ \(OE \bot SC\) Mà \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow OE \bot BD\) \( \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = OE\) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) Xét tam giác BAD có AB = AD, \(\widehat {BAD} = {60^0}\) \( \Rightarrow \) Tam giác BAD đều \( \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \) Xét tam giác SAC vuông tại A có \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2a\) Dễ dàng chứng minh được \( \Rightarrow \frac{a}{{OE}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)