Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD)

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP)

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP).

d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Trong mp(ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. Nối AE, DE.Ta có: MP ∩ BC = {E};           BC ⊂ (BCD)Do đó MP ∩ (BCD) = {E}.b) Nối NE, NE cắt CD tại Q.Ta có: CD ∩ NE = {Q};           NE ⊂ (MNP)Do đó CD ∩ (MNP) = {Q}.c) Ta có: P ∈ AC, mà AC ⊂ (ACD) nên P ∈ (ACD);Mà P ∈ (MNP) nên P là giao điểm của (ACD) và (MNP).Lại có Q ∈ CD và CD ⊂ (ACD) nên Q ∈ (ACD);Mà Q ∈ (MNP) nên Q là giao điểm của (ACD) và (MNP).Do đó PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).d) Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên hai đường trung tuyến DM, AN của tam giác cùng đi qua G.Ta có: G ∈ AN mà AN ⊂ (ANC) nên G ∈ (ANC);           G ∈ DM mà DM ⊂ (MDC) nên G ∈ (MDC).Do đó G là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).Lại có: C ∈ (ANC) và C ∈ (MDC) nên C cũng là giao điểm của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).Vậy GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).Mặt khác, I là giao điểm của MQ và NP nên I ∈ MQ và I ∈ NP.Vì I ∈ MQ mà MQ ⊂ (MDC) nên I ∈ (MDC)Vì I ∈ NP mà NP ⊂ (ANC) nên I ∈ (ANC)Do đó giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I. Vậy ba điểm C, I, G thẳng hàng.