Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.

a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM)

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng \(D'E = BF = \frac{1}{2}EF\)

Lời giải chi tiết

a)Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);           (ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;           (CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.Do đó A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);                 (ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;                 (DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.Do đó MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).Ta có: A’D // (B’CM);           DN // (B’CM);           A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)Do đó (A’DN) // (B’CM).b) Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).• Ta có: (A’DN) // (B’CM);              (A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;              (B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.Do đó DJ // B’I.Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BF}}{{BE}}\) (1) Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.Xét ∆ABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giácSuy ra \(\frac{{BI}}{{BO}} = \frac{2}{3}\)  hay \(\frac{{BI}}{{\frac{1}{2}BD}} = \frac{{2BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)Do đó \(\frac{{BI}}{{BD}} = \frac{1}{3}\) (2)Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{BF}}{{BE}} = \frac{1}{3}\)Suy ra \(\frac{{D'E}}{{D'F - D'E}} = \frac{1}{{3 - 1}}\) hay \(\frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\) .Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{{D'E}}{{D'F}} = \frac{{D'J}}{{D'B'}} = \frac{1}{3}\)Suy ra \(\frac{{D'E}}{{D'F - D'E}} = \frac{1}{{3 - 1}}\)  hay \(\frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\)Do đó \(\frac{{BF}}{{EF}} = \frac{{D'E}}{{EF}} = \frac{1}{2}\) nên BF = D’E = ½ EF.