💝 Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Kết nối tri thức

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 1

ꦦTổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 : Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$
B
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m - n}}$
C
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
D
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{\frac{m}{n}}}$

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì:

A
${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
B
${a^{1 - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
C
${a^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
D
Cả A, B, C đều sai

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{{ab}}$.
B
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{{ab}}$.
C
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a + b}}$.
D
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}$.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 + \sqrt 2 }}} \right)}^{3 - \sqrt 2 }}}}$ (với $a > 0$).

A
${a^2}$.
B
a.
C
$\frac{1}{a}$.
D
$2{a^2}$.

Câu 5 :

Với giá trị nào của a thì ${a^{\sqrt 8 }} < \frac{1}{{{a^{ - 3}}}}$?

A
$a = \frac{3}{4}$
B
$a = \frac{1}{2}$
C
$a = 1$
D
$a = \frac{3}{2}$

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.${\log _a}b$ xác định khi và chỉ khi:

A
$a > 0$.
B
$a > 1$.
C
$a > 0,a \ne 1,b > 0$.
D
$a > 1,b > 0$.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A
${\log _{1000}}{1000^3} = {1000^3}$.
B
${\log _{1000}}{1000^3} = \frac{1}{3}$.
C
${\log _{1000}}{1000^3} = 3$.
D
${\log _{1000}}{1000^3} = {3^{1000}}$.

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{{\ln a}}$.
B
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$.
C
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{{\log a}}$.
D
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$.

Câu 9 : Giá trị của phép tính ${4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}$ là:

A
81.
B
$9$.
C
$\frac{1}{{81}}$.
D
$\frac{1}{9}$.

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = - 1$.
B
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = 1$.
C
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = 0$.
D
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = \frac{1}{2}$.

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A
0.
B
1.
C
2.
D
3.

Câu 12 : Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là:

A
$D = \left( {0; + \infty } \right)$.
B
$D = \left( { - \infty ;0} \right)$.
C
$D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 13 : Hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\left( { - 1; + \infty } \right)$.
B
$\left[ {0; + \infty } \right)$.
C
$\left[ { - 1; + \infty } \right)$.
D
$\left( {1; + \infty } \right)$.

Câu 14 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A
$y = {x^{\sqrt 2 }}$.
B
$y = {x^{\log 4}}$.
C
$y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}$.
D
$y = {\log _2}x$.

Câu 15 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?

A
$y = {3^x}$.
B
$y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$.
C
$y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$.
D
$y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$.

Câu 16 : Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$. Khi đó:

A
$M.m = 2$.
B
$M.m = \frac{1}{2}$
C
$M.m = 4$.
D
$M.m = \frac{1}{4}$.

Câu 17 : Nghiệm của phương trình ${2^x} = 9$ là:

A
$x = {\log _9}2$.
B
$x = {\log _2}9$.
C
$x = {2^{ - 9}}$
D
$x = \frac{9}{2}$.

Câu 18 : Nghiệm của phương trình ${2^{2x - 1}} = {2^x}$ là:

A
$x = 0$.
B
$x = 2$.
C
$x = - 1$.
D
$x = 1$.

Câu 19 : Phương trình ${\pi ^{x - 3}} = \frac{1}{\pi }$ có nghiệm là:

A
$x = 0$.
B
$x = 2$.
C
$x = - 1$.
D
$x = 1$.

Câu 20 : Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 1}} = {64^{2x}}$ là:

A
$x = \frac{{ - 1}}{4}$.
B
$x = \frac{1}{4}$.
C
$x = \frac{{ - 1}}{8}$.
D
$x = \frac{1}{8}$.

Câu 21 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1$ là:

A
$S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right)$.
B
$S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.
C
$S = \left[ {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.
D
$S = \left[ {3;\frac{{11}}{3}} \right)$.

Câu 22 : Phương trình ${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A
0.
B
1.
C
2.
D
Vô số.

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2x}} < {25^{1 - x}}$ là:

A
$S = \left( { - 2; + \infty } \right)$.
B
$S = \left( {2; + \infty } \right)$.
C
$S = \left( { - \infty ; - 2} \right)$.
D
$S = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Câu 24 : Góc giữa hai đường thẳng a và b có thể bằng:

A
180⁰.
B
150⁰.
C
90⁰.
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 25 : Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?

A
a và b cắt nhau.
B
a và b chéo nhau.
C
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng.
D
Góc giữa a và b bằng ${90^0}$.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\widehat {SAB} = {100^0}$. Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu độ?

A
${100^0}$.
B
${90^0}$.
C
${80^0}$.
D
${70^0}$.

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AC và MN bằng bao nhiêu độ?

A
${100^0}$.
B
${90^0}$.
C
${80^0}$.
D
${70^0}$.

Câu 28 : Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

A
Vô số.
B
1.
C
2.
D
3.

Câu 29 : Chọn đáp án đúng:

A
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
D
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

A
Có hai đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D
Có ba đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 : Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?

A
${30^0}$.
B
${45^0}$.
C
${60^0}$.
D
${90^0}$.

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

A
(SAD).
B
(SCD).
C
(SAC).
D
(SAB).

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Chọn khẳng định đúng.

A
$BC \bot AB$.
B
$BC \bot AH$.
C
$BC \bot SC$.
D
Cả A, B, C đều sai.

Câu 34 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng:

A
${30^0}$.
B
${60^0}$.
C
${90^0}$.
D
${45^0}$.

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chọn đáp án đúng.

A
$\left( {AB,SD} \right) = {90^0}$.
B
$\left( {AB,SD} \right) = {85^0}$.
C
$\left( {AB,SD} \right) = {70^0}$.
D
$\left( {AB,SD} \right) = {75^0}$.

II. Tự luận

Câu 1 : 🎃 Cho hàm số: $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$. a) Với $m = \frac{1}{3}$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Câu 2 : ༺ Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng: a) $SC \bot \left( {AHK} \right)$. b) $HK \bot \left( {SAC} \right)$ và $HK \bot AI$.

Câu 3 : 🌼 Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{27}}$?

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 : Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$
B
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m - n}}$
C
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$
D
${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{\frac{m}{n}}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của phép tính lũy thừa.

Lời giải chi tiết :

Với a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý thì ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$.

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì:

A
${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
B
${a^{1 - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
C
${a^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{{{a^n}}}$
D
Cả A, B, C đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$.

Lời giải chi tiết :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{{ab}}$.
B
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{{ab}}$.
C
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a + b}}$.
D
$\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}$ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}$.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 + \sqrt 2 }}} \right)}^{3 - \sqrt 2 }}}}$ (với $a > 0$).

A
${a^2}$.
B
a.
C
$\frac{1}{a}$.
D
$2{a^2}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$ (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

$P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 + \sqrt 2 }}} \right)}^{3 - \sqrt 2 }}}} $ $= \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 7 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}}} = \frac{{{a^8}}}{{{a^7}}} = a$.

Câu 5 :

Với giá trị nào của a thì ${a^{\sqrt 8 }} < \frac{1}{{{a^{ - 3}}}}$?

A
$a = \frac{3}{4}$
B
$a = \frac{1}{2}$
C
$a = 1$
D
$a = \frac{3}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta $. Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta $.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{1}{{{a^{ - 3}}}} = {a^3} = {a^{\sqrt 9 }}$ nên ${a^{\sqrt 8 }} < \frac{1}{{{a^{ - 3}}}} \Leftrightarrow {a^{\sqrt 8 }} < {a^{\sqrt 9 }}$.

Vì $\sqrt 8 < \sqrt 9 $, mà ${a^{\sqrt 8 }} < {a^{\sqrt 9 }}$ nên $a >ᩚᩚᩚᩚᩚᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ𒀱ᩚᩚᩚ 1$. Do đó, $a = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.${\log _a}b$ xác định khi và chỉ khi:

A
$a > 0$.
B
$a > 1$.
C
$a > 0,a \ne 1,b > 0$.
D
$a > 1,b > 0$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${\log _a}b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0,a \ne 1,b > 0$.

Lời giải chi tiết :

${\log _a}b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0,a \ne 1,b > 0$.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A
${\log _{1000}}{1000^3} = {1000^3}$.
B
${\log _{1000}}{1000^3} = \frac{1}{3}$.
C
${\log _{1000}}{1000^3} = 3$.
D
${\log _{1000}}{1000^3} = {3^{1000}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \ne 1$ thì ${\log _a}{a^b} = b$.

Lời giải chi tiết :

${\log _{1000}}{1000^3} = 3$

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{{\ln a}}$.
B
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$.
C
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{{\log a}}$.
D
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu logb hay lg b.Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

Lời giải chi tiết :

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$.

Câu 9 : Giá trị của phép tính ${4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}$ là:

A
81.
B
$9$.
C
$\frac{1}{{81}}$.
D
$\frac{1}{9}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \ne 1$ thì ${a^{{{\log }_a}b}} = b,{\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b;{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$.

Lời giải chi tiết :

${4^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}} = {2^{2{{\log }_{{2^{\frac{1}{2}}}}}3}} = {2^{4{{\log }_2}3}} = {2^{{{\log }_2}{3^4}}} = 81$

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = - 1$.
B
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = 1$.
C
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = 0$.
D
${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = \frac{1}{2}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \ne 1$ thì ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b,\log {\,_a}a = 1$Với a là số thực dương, $a \ne 1$, $M > 0,N > 0$ thì ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$.

Lời giải chi tiết :

${\log _5}15 - 2{\log _5}\sqrt 3 = {\log _5}15 - {\log _5}3 = {\log _5}\frac{{15}}{3} = {\log _5}5 = 1$

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A
0.
B
1.
C
2.
D
3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Câu 12 : Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là:

A
$D = \left( {0; + \infty } \right)$.
B
$D = \left( { - \infty ;0} \right)$.
C
$D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ có tập xác định là $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Câu 13 : Hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A
$\left( { - 1; + \infty } \right)$.
B
$\left[ {0; + \infty } \right)$.
C
$\left[ { - 1; + \infty } \right)$.
D
$\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải chi tiết :

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

Câu 14 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A
$y = {x^{\sqrt 2 }}$.
B
$y = {x^{\log 4}}$.
C
$y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}$.
D
$y = {\log _2}x$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^x}$ được gọi là hàm số mũ.

Câu 15 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?

A
$y = {3^x}$.
B
$y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$.
C
$y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$.
D
$y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét xem đồ thị hàm số nào đi qua điểm $\left( { - 1;3} \right)$ và (0;1) thì đó là đồ thị hàm số cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ đi qua điểm $\left( { - 1;3} \right)$ và (0;1) nên hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ là hàm số cần tìm.

A
$M.m = 2$.
B
$M.m = \frac{1}{2}$
C
$M.m = 4$.
D
$M.m = \frac{1}{4}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$:+ Nếu $a > 1$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết :

Vì $2 > 1$ nên hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {2^3} = 8;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}$Suy ra: $M = 8,m = \frac{1}{4} \Rightarrow Mm = 8.\frac{1}{4} = 2$.

Câu 17 : Nghiệm của phương trình ${2^x} = 9$ là:

A
$x = {\log _9}2$.
B
$x = {\log _2}9$.
C
$x = {2^{ - 9}}$
D
$x = \frac{9}{2}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho phương trình ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$:+ Nếu $b \le 0$ thì phương trình vô nghiệm.+ Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Lời giải chi tiết :

${2^x} = 9 \Leftrightarrow x = {\log _2}9$Vậy phương trình có nghiệm là $x = {\log _2}9$.

Câu 18 : Nghiệm của phương trình ${2^{2x - 1}} = {2^x}$ là:

A
$x = 0$.
B
$x = 2$.
C
$x = - 1$.
D
$x = 1$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${2^{2x - 1}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 1 = x \Leftrightarrow x = 1$Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$

Câu 19 : Phương trình ${\pi ^{x - 3}} = \frac{1}{\pi }$ có nghiệm là:

A
$x = 0$.
B
$x = 2$.
C
$x = - 1$.
D
$x = 1$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${\pi ^{x - 3}} = \frac{1}{\pi } \Leftrightarrow {\pi ^{x - 3}} = {\pi ^{ - 1}} \Leftrightarrow x - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 2$Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

Câu 20 : Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 1}} = {64^{2x}}$ là:

A
$x = \frac{{ - 1}}{4}$.
B
$x = \frac{1}{4}$.
C
$x = \frac{{ - 1}}{8}$.
D
$x = \frac{1}{8}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{x + 1}} = {64^{2x}} \Leftrightarrow {4^{ - 2\left( {x + 1} \right)}} = {4^{3.2x}} \Leftrightarrow - 2x - 2 = 6x \Leftrightarrow 8x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{4}$

Câu 21 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1$ là:

A
$S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right)$.
B
$S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.
C
$S = \left[ {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.
D
$S = \left[ {3;\frac{{11}}{3}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) \le v\left( x \right)\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{2}{3}}}\frac{2}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 3 \le \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \le \frac{{11}}{3}\end{array} \right.$Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {3;\frac{{11}}{3}} \right]$.

Câu 22 : Phương trình ${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A
0.
B
1.
C
2.
D
Vô số.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > 0$${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right) \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$$ \Leftrightarrow {x^2} + x = 5x + 12 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\left( L \right)\\x = 6\left( {TM} \right)\end{array} \right.$Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 6$

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2x}} < {25^{1 - x}}$ là:

A
$S = \left( { - 2; + \infty } \right)$.
B
$S = \left( {2; + \infty } \right)$.
C
$S = \left( { - \infty ; - 2} \right)$.
D
$S = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{2x}} < {25^{1 - x}} \Leftrightarrow {5^{\frac{{ - 2x}}{2}}} < {5^{2\left( {1 - x} \right)}} \Leftrightarrow - x < 2 - 2x\left( {do\;5 > 1} \right) \Leftrightarrow x < 2$Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Câu 24 : Góc giữa hai đường thẳng a và b có thể bằng:

A
180⁰.
B
150⁰.
C
90⁰.
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰.

Lời giải chi tiết :

Vì góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰nên góc giữa hai đường thẳng có thể bằng 90⁰.

Câu 25 : Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?

A
a và b cắt nhau.
B
a và b chéo nhau.
C
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng.
D
Góc giữa a và b bằng ${90^0}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90^0}$.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng ${90^0}$.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\widehat {SAB} = {100^0}$. Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu độ?

A
${100^0}$.
B
${90^0}$.
C
${80^0}$.
D
${70^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$.+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá ${90^0}$.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$Do đó, $\left( {SA,CD} \right) = \left( {SA,AB} \right) = {180^0} - \widehat {SAB} = {80^0}$

A
${100^0}$.
B
${90^0}$.
C
${80^0}$.
D
${70^0}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, do đó, MN//BD.Vì ABCD là hình thoi nên $AC \bot BD$Vì $AC \bot BD$, MN//BD nên $AC \bot MN \Rightarrow \left( {AC,MN} \right) = {90^0}$.

Câu 28 : Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

A
Vô số.
B
1.
C
2.
D
3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Lời giải chi tiết :

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 29 : Chọn đáp án đúng:

A
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
D
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

A
Có hai đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D
Có ba đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải chi tiết :

Có duy nhất một đường thẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 : Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?

A
${30^0}$.
B
${45^0}$.
C
${60^0}$.
D
${90^0}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P nên $d \bot d' \Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0}$

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

A
(SAD).
B
(SCD).
C
(SAC).
D
(SAB).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$Mà ABCD là hình chữ nhật nên $BC \bot AB$Ta có: $SA \bot BC,BC \bot AB,$ AB và SA cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Chọn khẳng định đúng.

A
$BC \bot AB$.
B
$BC \bot AH$.
C
$BC \bot SC$.
D
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$, mà $BC \bot SH$ và SA và SH cắt nhau tại S và nằm trong mặt phẳng (SAH) nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.Lại có: $AH \subset \left( {SAH} \right)$ nên $BC \bot AH$.

Câu 34 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng:

A
${30^0}$.
B
${60^0}$.
C
${90^0}$.
D
${45^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$, mà $B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)$ nên $AA' \bot B'D'$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng ${90^0}$.

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chọn đáp án đúng.

A
$\left( {AB,SD} \right) = {90^0}$.
B
$\left( {AB,SD} \right) = {85^0}$.
C
$\left( {AB,SD} \right) = {70^0}$.
D
$\left( {AB,SD} \right) = {75^0}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),AB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$.Vì ABCD là hình thang vuông tại A nên $AB \bot AD$.Ta có: $AB \bot AD$, $SA \bot AB$ và SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD)Do đó, $AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$. Suy ra, $\left( {AB,SD} \right) = {90^0}$.

II. Tự luận

Câu 1 : ꦫ Cho hàm số: $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$. a) Với $m = \frac{1}{3}$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải :

+ Hàm số có dạng $y = \frac{1}{{\sqrt {u\left( x \right)} }}$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$. + Hàm $y = {\log _a}u\left( x \right)\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = \frac{1}{3}$ ta có: $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}$. Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} }}$ xác định khi ${\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.$ Vậy với $m = \frac{1}{3}$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$. b) Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m > 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m - 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$ Vậy với $m > \frac{2}{3}$ thì hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Câu 2 : ꦗ Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng: a) $SC \bot \left( {AHK} \right)$. b) $HK \bot \left( {SAC} \right)$ và $HK \bot AI$.

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$. + Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC$ Vì ABCD là hình vuông nên $DC \bot AD$. Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, $DC \bot \left( {SAD} \right)$ Lại có: $AK \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow DC \bot AK$. Mặt khác, $AK \bot SD \Rightarrow AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC$ Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ Vì ABCD là hình vuông nên $BC \bot AB$. Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$ Lại có: $AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$. Mặt khác, $AH \bot SB \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$ Ta có: $AK \bot SC$, $AH \bot SC$ và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên $SC \bot \left( {AHK} \right)$. b) Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {SAB} = {90^0}\\\widehat {SAD} = {90^0}\end{array} \right.$ Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, $\widehat {SAB} = \widehat {SAD} = {90^0}$, $AB = AD$. Do đó, $\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SD$, $SH = SK$. Suy ra: $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}$. Do đó, HK//BD (1) Vì ABCD là hình vuông nên $AC \bot BD$. Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right),DB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DB$ Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $DB \bot \left( {SAC} \right)$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $HK \bot \left( {SAC} \right)$. Mà $AI \subset \left( {SAC} \right)$, suy ra $HK \bot AI$.

Câu 3 : ♓ Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{27}}$?

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) < {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$. Ta có: ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{27}}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{{x^2} - 16}}{{27}}\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7.\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} - 16} \right) - 3} \right] < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} - 16} \right) - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3\\ \Leftrightarrow \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7 - 1} \right){\rm{.lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} - 16} \right) < 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7 - 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} - 16} \right) < \frac{{3\left( {{{\log }_3}7 - {{\log }_7}3} \right)}}{{{{\log }_3}7 - 1}}\end{array}$ $ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} - 16} \right) < \frac{{3\left( {{{\log }_3}7 - \frac{1}{{{{\log }_3}7}}} \right)}}{{{{\log }_3}7 - 1}}$$ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} - 16} \right) < \frac{{3\left( {{{\log }_3}7 + 1} \right)}}{{{{\log }_3}7}}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} - 16} \right) < 3\left( {1 + {{\log }_7}3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} - 16} \right) < {\log _7}{21^3}\end{array}$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 16 < {21^3} \Leftrightarrow - \sqrt {9277} < x < \sqrt {9277} $ Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $\left[ \begin{array}{l} - \sqrt {9277} < x < - 4\\4 < x < \sqrt {9277} \end{array} \right.$ Vì x là số tự nhiên nên $x \in \left\{ {5;6;7;...;96} \right\}$.

Bài liên quan