Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(BC = 6cm\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tính độ dài MN. Chứng minh MBCN là hình thang cân. b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua N. Chứng minh tứ giác ABCK là hình bình hành. c) Gọi H là điểm đối xứng của P qua M. Chứng minh AHBP là hình chữ nhật. d) Chứng minh AMPN là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Xét bài toán phụ:🌺 Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC. Lấy P đối xứng với M qua N. Chứng minh rằng MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Chứng minh:

Tam giác AMN và tam giác CPN có:\(NA = NC\left( {gt} \right),\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\) (hai góc đối đỉnh), \(NM = NP\) (gt). Do đó, \(\Delta ANM = \Delta CNP\left( {c - g - c} \right)\)Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên CP//AB hay CP//BMLại có: \(CP = AM = BM\)Tứ giác BMPC có: CP//BM, \(CP = BM\) nên tứ giác BMPC là hình bình hành. Do đó, MN//BC, \(MN = \frac{{BC}}{2}\)

Giải bài 15:

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên theo bài toán phụ ta có: \(MN = \frac{1}{2}BC = 3cm\) và MN//BCTứ giác MNCB có: MN//BC nên MNCB là hình thang. Mà \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (do tam giác ABC cân tại A) nên MBCN là hình thang cânb) Vì K là điểm đối xứng của B qua N nên N là trung điểm của BK. Mà N là trung điểm của AC (gt)Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành. c) Vì H là điểm đối xứng của P qua M nên M là trung điểm của HP. Mà M là trung điểm của AB nên tứ giác AHBP là hình bình hành. Lại có \(\widehat {APB} = {90^0}\) (tam giác ABC cân tại A nên AP là đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Vậy AHBP là hình chữ nhật.d) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên theo bài toán phụ ta có: \(MP = \frac{1}{2}AC\)Vì N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC nên theo bài toán phụ ta có: \(NP = \frac{1}{2}AB\)

Lại có: \(AM = \frac{1}{2}AB,AN = \frac{1}{2}AC,AB = AC\) nên \(AM = AN = MP = PN\) nên tứ giác AMPN là hình thoi.