Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AO, BO, CO, DO. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác ANCQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AO = CO,BO = DO\), \(AB = CD,AD = BC\), AB//CD, AD//BCVì M, P lần lượt là trung điểm của AO, CO nên \(MA = MO = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}CO = OP = PC\)Vì N, Q lần lượt là trung điểm của BO, DO nên \(NB = NO = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}DO = OQ = QD\)Tứ giác MNPQ có: \(MO = OP,NO = OQ\) nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.b) Vì AB//CD nên \(\widehat {ABN} = \widehat {QDC}\) (hai góc so le trong)Tam giác ABN và tam giác CDQ có:\(AB = CD\left( {cmt} \right),\widehat {ABN} = \widehat {QDC}\left( {cmt} \right),NB = DQ\left( {cmt} \right)\)Do đó, \(\Delta ABN = \Delta CDQ\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AN = CQ\)Vì AD//CB nên \(\widehat {QDA} = \widehat {NBC}\) (hai góc so le trong)Tam giác ADQ và tam giác CBN có:\(AD = CB\left( {cmt} \right),\widehat {QDA} = \widehat {NBC}\left( {cmt} \right),DQ = NB\left( {cmt} \right)\)Do đó, \(\Delta ADQ = \Delta CBN\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AQ = CN\)Tứ giác ANCQ có: \(AN = CQ\), \(AQ = CN\) nên tứ giác ANCQ là hình bình hành.