Đề bài

Tìm các điểm trên elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Elip  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có nửa tiêu cự bằng \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \). Với mỗi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm  \({F_1}\) là \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0}\), ứng với tiêu điểm \({F_2}\) là \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_0}\) Mặt khác \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip nên \( - a \le {x_0} \le a\). \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c \le M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\\a - c \le M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_0} \le a + c\end{array} \right.\) Hơn nữa, \(\begin{array}{l}M{F_1} = a - c \Leftrightarrow {x_0} =  - a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_2} = a - c \Leftrightarrow {x_0} = a,{y_0} = 0\\M{F_1} = a + c \Leftrightarrow {x_0} =  - a,{y_0} = 0\end{array}\) Vậy \(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\) và lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\); \(M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\) và lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\).