Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(3;0)\) trên (E). b) Tìm điểm N trên (E) sao cho \(N{F_1} = N{F_2}\) c) Tìm điểm S trên (E) sao cho \(S{F_1} = 2S{F_2}\)

Lời giải chi tiết

Elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) có \(a = 3,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2 \) a) + Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) + Bán kính qua tiêu của \(M(3;0)\): \(M{F_1} = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 + 2\sqrt 2 ,\;M{F_2} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 - 2\sqrt 2 .\) b) \(N{F_1} = N{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N}\) \( \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 0 \Leftrightarrow {x_N} = 0 \Rightarrow {y_N} =  \pm 1\) Vậy \(N(0;1)\) hoặc \(N(0; - 1)\) c) \(S{F_1} = S{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 2\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S}} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 3 \Leftrightarrow {x_S} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow {y_S} =   \pm \frac{{\sqrt {3} }}{2}\) Vậy \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {3} }}{2}} \right)\) hoặc \(S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {3} }}{2}} \right)\)