Đề bài

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)Kẻ \(OH \bot SC,H \in SC\)Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot \left( {SAC} \right)\\OH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot BD\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là \(OH\)

Có \(SO \bot AC \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {2{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)\(OH = \frac{{SO.OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Chọn A