Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'} \) b) \(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'} \) c) \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BD} \). Mặt khác \(BD \bot AC\)(do ABCD ♏ là hình vuông) hay \(\overrightarrow {BD}  \bot \overrightarrow {AC} \),

suy ra \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {BD}  = 0\). b) Ta có \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BC} \). Suy ra : \(\overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = BD \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos \widehat {DBC} = {a^2}\sqrt 2  \cdot \cos {45^ \circ } = {a^2}\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\). c) Ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right){\rm{       }}\left( 1 \right)\). Ta sẽ tính cạnh \(AC'\) và xác định góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right)\). Ta có \(CB \bot AB\) suy ra \(C'B \bot AB\), do đó tam giác \(ABC'\) vuông tại \(B\). Xét tam giác \(ABC'\) có \(AC' = \sqrt {A{B^2} + B{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \). Lại có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}\) suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Thay \(AC' = a\sqrt 3 \) và \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\overrightarrow {A'B'}  \cdot \overrightarrow {AC'}  = AB \cdot AC' \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {a^2}\).