Đề bài

Cho hình chóp S.ABC ✱có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\).

Chứng minh rằng \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có ba tam giác \(SAB,{\rm{ }}SAC,{\rm{ }}SAB\) đôi một bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó \(AB = BC = AC\) (cạnh tương ứng), suy ra tam giác \(ABC\)là tam giác đều. Giả sử \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(HM \bot BC\) với \(M \in BC\) ta có \(SM \bot BC\). Mặt khác, tam giác \(SBC\) cân tại \(S\)(giả thiết \(SB = SC\)) suy ra \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Từ đó suy ra \(HM\) là một phần đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Tương tự, kẻ \(HN \bot AB\) ta thu được \(HN\) là một phần đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Do đó ta có \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Ta có \(AM\) là hình chiếu của \(SA\) trên \(\left( {ABC} \right)\) và \(AM \bot BC\) suy ra \(SA \bot BC\) do đó \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0\) Chứng minh tương tự ta thu được \(SB \bot AC\) và \(SC \bot AB\). Vậy \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).