Đề bài

Giả sử \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\). a) Chứng tỏ rằng \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Từ đó suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci. b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) đầu tiên. Tinh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Lời giải chi tiết

. a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\) \( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\) \( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\) \( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci. b) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{2}^{n+1}}\sqrt{5}}:\frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}{{{2}^{n}}\sqrt{5}}$ \(=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{{{(1+\sqrt{5})}^{n+1}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n+1}}}{{{(1+\sqrt{5})}^{n}}-{{(1-\sqrt{5})}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{5}-\left( 1-\sqrt{5} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}{1-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (do $\left| \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right|<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \right)}^{n}}=0$ ).